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1+1=2 를 '증명'하려고 하면,
1 이 '뭔지', 2 가 '뭔지' 알고 있어야 하고,
+ 가 뭔지 역시 알고 있어야 합니다.
당연한 거죠.

1, 2, + 가 뭔지도 모르고,
1 + 1 = 2 라는 것을 증명할 수는 없는 일이죠.

그래서, 1+1=2 를 '증명'하기에 앞서, 먼저
이러한 숫자와 덧셈을 '정의'하게 됩니다.

보통, 1 은 무정의 용어로 사용하는 경우가 많습니다.
(혹은, 어떤 사람들은 곱셈에 대한 항등원으로 정의하는데,
이 경우, 곱셈도 정의되어야 하므로...)

여기에서, 2 가 무엇인지 '정의'하려면,
사실상 '자연수' 가 무엇인지를 정의해야 합니다.

페아노 공리계니 하는 것들을,
흔히 아는 말을 써서 매우 단순하게 말한다면...

자연수는,

(1) 1 은 자연수이다.
(2) n 이 자연수이면, "n 다음 수"는 자연수이다
(3) "n 다음수" 연산은 일대일이다.

라는 세 가지 성질을 갖는 집합이라고 생각할 수 있습니다.
(이런 집합 중에서 가장 작은 것.)
(어떤 사람은 0 도 자연수라고 부르고 싶어하지만....)

여기에서 n 다음 수 를 n' 라고 쓰기로 합시다.

이제, 이 집합에서,
1 다음수, 즉, 1' 을 2 라고 정의하고,
2 다음수, 즉, 2' 을 3 이라고 정의하고,
3 다음수, 즉, 3' 를 4 라고 쓰기로 하고,
...
이와 같이, 모든 자연수에 대해서 기호를 개발하면,
자연수를 무한히 - (3) 성질이 중요함 - 만들어 낼 수 있죠
(수학적 귀납법의 원리와 비슷...)

이 집합에 덧셈을 다음과 같이 정의합니다.
a + b 를 정의해야 하는 데,

a + 1 = a' 으로 정의하고,
a + n' = (a+n)' 으로 정의합니다.

이러한 정의에 의해서 만들어진 '덧셈' 은
우리가 아는 덧셈과 같게 되고요.

이 때, 1+1 은 정의상 1' 이므로, 1+1=2 입니다.

위의 덧셈의 정의에 따르면, 예를 들어, 2+3 은,
2+1 = 2' = 3 이므로,
2+2 = 2+1' = (2+1)' = 3' = 4 이고,
2+3 = 2+2' = (2+2)' = 4' = 5 라는 것을 알 수 있습니다.

예를 들어, 3+2 는,
3+1 = 3' = 4
3+2 = (3+1)' = 4' = 5
가 됩니다.

이와 같이 '정의'한 덧셈이 우리가 이미 알고 있는 덧셈의 성질
예를 들어, a+b = b+a, (a+b)+c = a+(b+c)
와 같은 것을 다 만족함을 보일 수가 있습니다.

그리고 난 뒤에 곱셈을 정의하죠.
a * 1 = a
a * b' = a*b + a 라고 정의하면 됩니다.

예를 들어,
2*2 = 2*1' = 2*1 + 2 = 2+2 = 2+1' = (2+1)' = 3' =4
가 되는 거죠.

이와 같이 곱셈까지 정의하면,
교환, 결합, 덧셈과의 배분 법칙 등을 모두 '증명'할 수 있습니다.

어찌보면, 매우 인위적으로 보이겠지만,
1+1=2 를 '증명' 해 달라고 하면,
이것 말고 사실 별로 다른 방법이 없습니다.

이건 네이버 지식in에서 퍼온것입니다.

지식인 쩌네여....ㄷㄷ